一、测量误差来源
测量工作是由观测者使用仪器、工具按照一定的方法，在一定的外界条件下进行的。由于测量所使用的仪器和工具不可能绝对准确，进行测量时的外界条件也随时发生变化，以及观测者感官和生理条件限制。所以，无论何种测量,无论何种精密仪器，无论观测多么仔细，均无法求得测量的真值。例如，往返丈量某一段距离，或反复观测某一角度，每次观测结果都不会一致，这就是因为观测结果中存在测量误差的缘故。
    产生测量误差的原因，有以下三方面：
    1．仪器误差
    各种测量仪器不是完美无缺的，即使最精密的仪器，也会有一定的误差。例如，丈量长度的钢尺、皮尺，它们的格值就含有误差，由于热胀冷缩，它们的长度会随着温度改变。所以，尺子标记的长度，量得的长度，均不是真长，还有仪器轴系之间的公差导致盘偏心，几何关系不真正垂直或不真正水平等等，都会给观测值带来误差。
    2．观测者的影响
    由于观测者的感觉器官的鉴别能力有着一定的局限性，所以不论在仪器的安置、照准、读数等方面，都会使观测值产生误差。
    自动化仪器虽然是自动进行接收处理，但设备的安置、目标和时间的选择，仍由人来掌握，也会受到操作者的影响。
    3．周围环境的影响
    观测时的自然界，如温度、湿度、风力、大气折光等因素，都会使观测值产生误差。如温度不仅给丈量长度带来误差，也会给水准测量和角度测量带来误差。大气的水平折光给水平角观测带来误差，大气的垂直折光给垂直观测和水准测量带来误差，自然界影响观测值的因素很多，且复杂多变，难于准确掌握其规律，但仍可采取适当措施，尺量减弱或消除其影响。
    二、测量误差的分类
    测量误差按性质可分为系统误差和偶然误差两类：
    1．系统误差
    在相同的条件下作一系列观测，如果误差的数值和符号呈规律性的变化或者保持某一常数，那么这类误差称为系统误差。产生系统误差的主要原因是测量仪器、工具的不完善或外界条件的变化。例如钢尺的注记长度(即名义长)为50米，经鉴定后，发现它的实际长度为49．99米，于是用这样的尺子去量距离时，每量一整尺，则测量值就比实际长度大了0．01米。
系统误差是一种有规律性的误差，可采用计算方法或观测的方法以消除或大大减弱它。
    2．偶然误差
    在相同条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号都表现出偶然性，即从表面上看没有任何规律性，具有这种性质的误差称为偶然误差，例如在尺上估读小数，有时偏大，有时偏小，就属于偶然误差。
    显然，偶然误差不能用计算改正和改变观测方法来消除，只能靠增加观测个数来提高观测值的精度。
    要说明的是，实际工作中，因观测者的疏忽大意，出现如读错数、记错、照准错、仪器安置不合要求等错误，这一类问题称为粗差。粗差必须避免，不允许在成果中存在。为了杜绝粗差，除了加强作业人员的责任心，提高操作技能外，还应采取必要的检核措施。
    三、衡量精度的指标
    所谓精度，就是指误差分布的密集成离散程度。观测质量较睁，则精度较高；观测质量较差，则精度较低。
    实际工作中，常用以下几个精度指标作为衡量测绘成果质量和可靠程度的定量性的指标。
    1．方差和中误差
    在相同观测条件下，一组真误差平方的平均值之极限称为方差。方差的平方根称为中误差或标准差，即：
   
    △为真误差，n为真误差个数。
    实际作业中，观测个数n有限，此况下，方差和中误差的估值的一般用m2和m表示，即：
   
    例：同一段距离用50钢尺我丈量六次，其观测结果于表2-3内。该段距离真值（用因瓦基线尺量等得，精度很高，与钢尺量距精度比，呆视为真值 ）为49.982米，试求丈量一次的观测值的中误差。

    在表2-3可知，中误差m= 4.7毫米。
    用式2-13计算中误差，需知观测值的真误差，但真误差往往无法求得，因而实际运用中，多利用观测值改正数V来计算中误差，即：
    
    式中，Vi=L-li，L为观测值的算术平均值，li为某次观测值，n为观测值个数。
    仍以上面钢尺量距为例，见表2-4：

    表2-4中计算栏内说明每次丈量中误差为 5.1mm。
    显然，我们系用算术平均值49.982米作为最后观测成果，该成果精度怎样呢？可用算术平均值的中误差m来表示，即：
   
    2.相对误差
    对于有些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的优劣。例如,分别丈量了400米和30米两段距离，测量中误差均为 2cm。显然不能说它们的精度相同。为此，必须再引入另一种方法来衡量精度，即相对误差。它是中误差 与观测值之
比。相对误差为无名数，通常以分子为1的分数式来表示，即：

    用相对误差来衡量，显然前者精度高于后者精度。
    3．允许误差
    在实际工作中常采用二倍中误差作为允许误差，即：
    
    允许误差通常又称极限误差或最大误差，它是一组测量误差中允许出现的最大误差，测量规范中一般以此作为限差。
    4．点位中误差
    在平面测量中，点的平面位置是用一对平面直角坐标值来确定的，为此需进行一系列观测，才能求称出该点的坐标。由于观测误差的影响，求得的坐标值(x、y)与其真值坐标(X、Y)之间必然存在真误差( x、 y)。
    如图2-11所示，点位真误差
                             
                                    图2-11 待定点位置误差
    
    式中：
    
    点位真误差也可写成方差形式：
    
    点位误差都是相对某一点而言的相对位置误差，相对于起算点，则称相对于起算点的点位中误差，相对于相邻点，则称相邻点的点位中误差。
    P点的真误差△P可投影向AP方向和垂直于AP的方向上，记为△s和△u，同样，有
    △2P=△2S+△2u                                                      (2—20)
或                                                   (2—21)
    式中 s称为纵向误差， u称为横向误差。
    5．相邻点点位相对中误差
    在房产测量中，只有保证点与点之间的相对精度，才能保证使界址点、量算面积及成图的精度；为此，必须了解相邻点点位相对中误差的基本知识。
    点位相对中误差就是两点之间的相对位置中误差与该两点间距离的比值，即为：
    
    式中：mL为两点间的相对位置误差；
               S为两点间的距离。
    如图2—11所示，设A点位置真误差为零，现研究B点相对于A点的相对位置中误差。由于测量误差，引起两点间的方向中误差mo及长度中误差吨，或者为坐标增量中误差m△x、m△y。
    则A、B之间相邻点位之相对误差为：
   
     或：
  
    使用两点间的相对位置误差与距离的比值这一精度指标更能全面衡量点与点之间相对位置的精度。
    限于本书篇幅和深度，点位中误差、相邻点位相对中主误差的计算请参看有关误差理论书籍。
    四、误差传播及观测值函数中误差
    1．误差传播一般法则
    有些未知量，是由观测值间接计算出来的。例如：通过测量房屋的边长求算建筑面积；通过水准测量前后视读数求得两点间的高差；通过测角量边求算导线点的坐标值。显然，这些未知量都是观测值的函数，观测值的误差对其求算值同样带来误差，那么，观测值函数的中误差与观测值的中误差之间存在怎样的关系?阐明这种独立测值和它函数问的误差关系的定律，就叫做误差传播定律。或称为协方差传播律。下面给出误差传播的一般法则。
    设有函数
    Z=F(xl，x2，……，xn，) (2—24)
    式中xi为直接观测量，设其观测值li的真误差为△xi，由于△xi的存在，使函数Z产生相应的真误差△Z。
    真误差为：
    △2=f△xl+f2△x2+……+fn△xn (2—25)
    设观测值L1，L2，……，Ln相应的中误差为m1，m2……mn，根据中误差的定义，式2—29即可写成
    
    2．观测值函数中误差
    (1)和差函数
    如果函数Z为几个独立观测值的代数和，即，
    Z=X1±X2．．．．．．±Xn                                                 (2-27)
    函数的中误差为：
    
    若属于等精度观测，即m1=m2=……mn时，则有
    mz=±mn (2-29)
    例：对房屋其一边长直接丈量三段距离L1=17.33米，12=27.64米，13=12.48米，它们的丈量误差分别为±0.05米，±0.06米，±0.04米。求其边长的中误差。
    解：设边长为I，则
    L=L1+L2+L3
     =17．33+27．64+12．48
     =57．45米
    又
    故
          =0.09米
    例 试分析1：500房产分幅图测绘中，地物点相对于邻近控制点的中误差为多少。
    测定地物点的方法，是先测定测站至地物点的方向，再测出它们之间的距离，然后在图上刺出地物点的位置。
    按其影响测定精度的误差有：方向误差m方向，视距误差为m视距，图上刺点误差m刺点；测站点本身的测定误差m支站，图根控制点的测称和展点误差m图根，则地物点平面位置中误差为
    
    式中 m图控——按《房产测量规范》规定，图根控制点相对于邻近基本控制点的点位中误差不超过图上±0．1毫米。展点误差随展点方法不同而异，根据经验取其误差的联合影响为m图根=±0．15毫米。
    M支站——支站点位置误差，在1：500测图中，当用视距法直接测定支站点位置时，在图上中误差可达±0．20毫米。
    M视距——地物点视距误差。1：500测图地物点视距最大长度为70米，视距精度按1：350计算，则视距中误差在图上为±0．40毫米。
    M方向——测定地物点的方向误差，包括图板的对中、整平、定向的误差，照准误差、画方向线的误差，标尺不正立于地物点上引起的误差以及标尺左右倾斜的误差，这些误差的影响与测站点至地物点间的距离有关，方向误差通常按下式计算。
    
    一般取 ＝７’,1：500例图中Dmax=60米，则方向误差m方向＝±0.12米，在图上为±0.24毫米。
    M刺点＝图上刺点误差，根据肉眼分辨力可达0.1毫米。所以在图上刺点的误差可用下式计算。
    M刺点＝±0.12=±0.15毫米
    将上述误差代入式2-35，得
    
          = 毫米
    若不设支站，则M地物=±0.54毫米
    《房产测量规范》规定：模拟法测绘的房产分幅图上主要 地物点相对于邻近控制点的点位中误差不超过图上±0.5mm，次要地物点相对于邻 近控制点的点拉误差不超过图上±0.6mm。由上述计算分析可知。M地物=±0.55毫米公符合次要地物点的要求，因此，一般情况下，只有不设支站或提高量距精度（采用钢尺或比长过的尺直接丈量，而不用视距方法）才能满足测定主要地物点的精度要求。
    （2）倍函数
    设观测值L′函数F为L的K倍，L的中误差为m，求函数F的误差mF
    F=KL                                                         (2-31)
    K为不带误差的常数，则
    
    即 mF=K·m                                                   (2-32)
    上式就是倍数函数式观测值中误差与函数中误差的关系式。
    例 测得一圆形旋转餐厅的半径r=12米，mr=±0.04米，试求出该餐厅周长、面积及其中误差。
    周长C=2πr=75.36米
    面积 s=πr2=452.16米2
    周长误差：
    mc=2πm,
        =2π (±0.04)
        =±0.25米
    面积误差：
    ms=2πrmr=c·mr
        =2 3.14 12 (±0.04)
        =±3.01米2
    （3）任意函数
    例 一房屋为矩形，测得边长分别为a、b，求其面积s的中误差及相对误差。
    解 面积计算公式：
        s=a b
    则面积s的中误差：
    
    面积P的相对误差：
    
    测算房屋面积时，一般丈量两边，每边丈量两次，两次结果取平均值，或丈量四边，对边取平均值，然后用求得的平均值再计算面积。
    边长丈量时，一次对准误差为±0.01米，于是，丈量一次边的对准误差为
    米，一种新型的纤维皮尺丈量精度可达到以上，故边长丈量一次的误差为
    
    丈量两次取平均值后边长丈量中误差为：
    
                           表２－６ 边长与丈量中误差对照表（两次丈量取平均值）
                                          （纤维皮尺）
    
    例：对如图2-12的私房进行勘测，采用纤维皮尺量边，丈量两次邓平均值，勘测数据已在图上标注。试计算其建筑面积，面积中误差及相对误差。
    解：面积计算：
    
                         
                                图2-12 某私房勘测平面图
                          面积误差计算（边长误差按式2-35计算）
    边 　长 （米）1.60     2.12    2.80    2.85    3.30    3.65    5.92
    边长误差（米）±0.012 ±0.013 ±0.013 ±0.013 ±0.014 ±0.014 ±0.017
    因为：
    
    所以
   故，面积　相对误差
    
    按《房产测量规范》房屋面积三级精度等级测算的中误差Ms不得超过下式计算结果：
    
    将例题数据s=53.95m代入上式，得
    Ms=±0.45(m)
    实际测算面积误差ms<Ms，测算精度符合规范要求。
    按式2-36计算，求得表2-6，供实际工作中对比参考。
    表2-6 房屋面积测算中误差

    由表2-6可看出，按公式2-36计算的面积中误差作为对房屋面积的测算精度要求是比较宽松的。当然，面积较小或形状复杂时，如在100平方米以下，要达到表2-6的精度要求需要特别仔细认真，并非宽松，面积较大时，精度要求容易达到，但若在产权登记中，这样大的误差不能适应经济发展的需要。因此，必须提高丈量精度，如采用新型纤维度尺或手持测距仪测边可较大幅度地提高房屋面积的测算精度。